INVESTIGACION DE OPERACIONES: METODO DUAL

TEORIA DE LA DUALIDAD.

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.

DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL.

Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:

Maximizar

Sujeto a:

El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera:

1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.

2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.

3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.

4. El problema de maximización tiene restricciones

que y el problema de minimización tiene restricciones

que.

5. Las variables en ambos casos son no negativas.

EJEMPLO:

Considere el problema primal siguiente:

Maximizar

Sujeto a:

Elaborar el dual a partir del primal.

Minimizar

Sujeto a:

Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son:

1. Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar de la siguiente forma:

Minimizar

Maximizar

2. Una restricción mayor o igual que se transforma en una restricción menor o igual que de la siguiente manera:

3. Una restricción de igualdad se transforma en 2 inecuaciones.

EJEMPLO: (PRIMAL).

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Dual

Miminizar

Sujeto a:

Encuentre el problema dual a partir del primal siguiente:

EJEMPLO:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

EJEMPLO:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

EJEMPLO:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Encuentre el problema dual asociado al problema primal siguiente:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

Maximizar

Sujeto a:

SOLUCION OPTIMA PRIMAL (2FASES)

V. Básica	Z	X₁	X₂	S₁	S₂	Solución
Z	1	-5000/3	0	-500/3	0	6000
S₂	0	1	0	-2	1	12
X₂	0	2/3	1	-1/3	0	12

SOLUCION OPTIMA DEL DUAL

V. Básica	Z	W₁	W₂	S₁	S₂	Solución
Z	1	0	12	0	12	6000
S₁	0	0	-1	1	-2/3	5000/3
W₁	0	1	2	0	1/3	500/3

EJEMPLO:

Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2).

La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2.
El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

	HORAS	REQUERIDAS	CAPACIDAD
OPERACIÓN	MANUAL	ELECTRICA	(HRS MENSUALES)
O1	3	2	2000
O2	1	2	1000

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso.

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total

RESTRICCIONES : horas mensuales de las operaciones

VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir

X₁ = número de máquinas de escribir manuales
X₂ = número de máquinas de escribir eléctricas

Maximizar

Sujeto a:

Minimizar

Sujeto a:

V. Básica	Z	W₁	W₂	S₁	S₂	Solución
Z	1	0	0	5	25	35000
S₁	0	1	0	1/ 2	-1/2	500
W₁	0	0	1	-1/ 4	3/ 4	250

METODO DUAL SIMPLEX.

Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones

).
La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.

CONDICION DE FACTIBILIDAD.

La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible).

CONDICION DE OPTIMIDAD.

La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale.
Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero.
La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización (rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.

Minimizar